Алексей родился в Москве, в семье Анатолия Кортнева, сотрудника Академии наук СССР и профессора Института стали и сплавов. Его родители были интеллигентами и поклонниками туризма, поэтому с детства он путешествовал на байдарках, каяках, в горные походы, занимался альпинизмом и волейболом.
Алексей был отличным учеником и владел английским языком настолько хорошо, что начал писать песни еще в подростковом возрасте. В начале 80-х годов он поступил на мехмат МГУ, где встретил Валдиса Пельша. Они не только играли в КВН, но также создали группу "Несчастный случай". Несмотря на свой успех в мире развлечений, Алексей чувствовал, что наука подавляет его творческий дух. Чтобы избежать призыва в армию, он решил "лечь в психушку" и получить белый билет.
Кортнев также был известен своим многогранным творчеством. Он создавал программу "Оба-на!" с Пельшем, Угольниковым, Денисовым и Гуваковым. Он работал копирайтером в рекламе, создавая слоганы для "Пепси", пел в мюзиклах и сочинял музыку для проектов "Квартет И". Но большинство его зрителей всегда воспринимали его как вокалиста и автора в группе "Несчастный случай", которой в сентябре исполнилось 40 лет. Хотя состав коллектива менялся со временем, только Алексей оставался постоянным участником.
Карьера группы пережила разные фазы популярности. Она оказала наивысший всплеск в конце 90-х, когда группа выпустила кавер-версию песни из фильма "Генералы песчаных карьеров" для программы "Старые песни о главном". В нулевых музыканты получили новый успех, создавая песни с метафорами на философские, политические и личные темы.
